224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2025

Rapport du jury 2019

Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020. Ses thèmes se retrouveront dans les leçons223, 239, 265. $\\$ Ce sujet permet d’exprimer un savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode deLaplace. L’étude de suites récurrentes, plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, fait aussi partie du bagage de l’agrégatif, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

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Rapport du jury 2019

Rapport du jury 2017

Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de\rStirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode de Laplace.\r\rPar ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que le poncif* $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).\r\r*NDLR : poncif = Formule rabâchée, qui a perdu toute originalité ; cliché.

Rapport du jury 2016

Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction Γ. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier ; voire présenter la méthode de Laplace. \r\rPar ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

Développements

5	Suite des sinus itérés
5	Développement asymptotique de suites definies par récurrence
5	Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)
5	Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
5	Etude asymptotique d'une suite définie implicitement
5	Développement asymptotique d'une suite récurrente
5	Méthode de Laplace (ordre pas forcément deux)
5	Suites définies par récurrence
5	Étude de deux suites récurrentes
5	Asymptotique d'une équation du troisième degré
5	Premier théorème de Mertens
5	Moyenne d'une fonction multiplicative à valeurs dans [0,1]
5	Théorème de Wiener-Ikehara
5	Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire
5	Un théorème taubérien de Hardy-Littlewood
5	DA de $\int_1^x \frac{e^t}{t} dt$
5	Développement asymptotique du nombre moyens de diviseurs
5	Convergence d'une suite lente
5	Formule de Stirling par la méthode de Laplace
5	DA à 3 termes des log itérés
5	Formule d’Euler-Maclaurin
5	Suite des Arctan itérés
5	Suite récurrente : convergence lente
5	Développement asymptotique de la série harmonique
5	Etude asymptotique de la solution de l'équation de Bessel
5	Formule d'Euler-Maclaurin et applications
4	Étude de l'équation x' = x^2 - t
4	Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)
4	Convergence vers la loi de Gumbel
4	Nombre de zéros d'une équation différentielle
4	Développements de sinus, cotangente et cosécante en produit et sommes infinis du point de vue holomorphe
4	Formule de Stirling
4	Ordre moyen de l'indicatrice d'Euler et de $\sigma$
4	Lemme de Scheffé et applications
4	Critère de convergence des séries télescopiques
3	Étude qualitative de x' = x^2 - t
3	Méthode de Newton pour les polyômes
3	Méthode de Laplace
3	Théorème de comparaison de Sturm
3	Théorème de Sturm
3	Méthode de Newton
3	Master Theorem
3	Approximation polynomiale et matrices de Hilbert
3	Formule de Stirling (par le théorème central limite)
1	Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
1	Partition d'un entier en parts fixées
1	Formule de Gauss pour la fonction Gamma d'Euler

Plans

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Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Références :

Utilisateur : Tintin

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Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, la difficulté provennant du fait que la leçon s'appelle \"Exemples de...\" et que dans les références, on ne trouve pas beaucoup exemples... De plus, la notion de développement asymptotique n'est plus au programme de CPGE et assez peu étudié à la fac donc il faut tout découvrir sur le sujet dans un laps de temps assez court... N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Tout-en-un MPSI

Tout-en-un MP/MP*

Analyse

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 224. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Références :

Analyse

Petit guide de calcul différentiel

Oraux X-ENS Analyse 1

Probabilités pour les non-probabilistes

Utilisateur : Mathis Lemay

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Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle \"Exemples de...\" et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples... Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable... Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires... Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça... On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence. Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli

Références :

Analyse

Elements d'analyse réelle

Analyse numérique et équation différentielle

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Hugo

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Pas un immense fan de cette leçon, mais elle se remplit bien. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Références :

Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Petit guide de calcul différentiel

Analyse

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Analyse

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Petit guide de calcul différentiel

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : EWna

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Plan un peu court.

Références :

Oraux X-ENS Analyse 1

Analyse

Elements d'analyse réelle

Petit guide de calcul différentiel [Doublon]

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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J'ai eu beaucoup de mal à faire cette leçon. Je ne pense pas avoir fait un bon plan, je la met quand même en ligne pour les références.

Références :

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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