102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.2025

Rapport du jury 2023

Les notions élémentaires concernant les nombres complexes de module 1 (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.) doivent être présentés, avant d'aborder l'aspect \"groupe\" de $S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il est souhaitable de présenter des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, et éventuellement les représentations de groupes, etc. On peut également s'intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$.\r\rPour aller plus loin, on peut s'intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l'unité dans $\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l'exposé, ni l'essentiel d'un développement.

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Rapport du jury 2023

Rapport du jury 2022

Cette leçon ne peut faire l'impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle\rcomplexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit s'y cantonner. Elle doit aborder l'aspect \"groupe\" de\r$S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et\rcomment les nombres complexes de module 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines\rdes mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, représentations de\rgroupes, etc. On peut également s'intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$.\rPour aller plus loin, on peut s'intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l'unité dans\r$\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par\rprolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides.\rDes aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l'exposé, ni l'essentiel d'un développement.

Rapport du jury 2020

Cette leçon ne peut faire l’impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit pas s’y cantonner. Elle doit aborder l’aspect « groupe » de $S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les groupes des nombres complexes de module 1 et des racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, spectres de matrices remarquables, etc. On peut également s’intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$.\r\rPour aller plus loin, on peut s’intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l’unité dans $\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides.\r\rDes aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l’exposé, ni l’essentiel d’un développement.

Rapport du jury 2019

Cette leçon ne peut faire l’impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit s’y cantonner. Elle doit aborder l’aspect « groupe » de $S^1$ en considérant son lien avec $(R,+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, etc. On peut également s’intéresser aux sous-groupes compacts de $C^*$.\r\rPour aller plus loin, on peut s’intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l’unité dans $Q[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides.\r\rDes aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $R^n$ mais ne doivent occuper ni le coeur de l’exposé, ni l’essentiel d’un développement.

Rapport du jury 2017

Cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects élémentaires. Elle doit donner l’occasion d’expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même, il est pertinent d’étudier les sous-groupes finis de $S^1$ dans cette leçon.\r\rOn pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y\rappartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$. Les transformées de Fourier\rdiscrètes et rapides peuvent aussi être abordées dans cette leçon.

Rapport du jury 2016

Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon.\r\rOn pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .

Rapport du jury 2015

Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie \"groupe\" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative \"sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes\"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.\r

Rapport du jury 2014

Développements

5	Théorème de Gauss (polygones constructibles)
5	Caractères linéaires continues de U
5	Construction de l'exponentielle et de Pi
5	Théorème de Dirichlet faible
5	Théorème de Kronecker
5	Théorème de Dirichlet (fort)
5	Etude des polynômes cyclotomiques
5	Quelques applications de la transformée de Fourier discrète
5	Morphismes continus du cercle dans GLn(R)
5	Polynômes cyclotomiques irréductibles
5	Racines de l'unité dans l'extension cyclotomique
5	Théorème de Kronecker-Weber faible
5	Polynômes cyclotomiques sur les corps finis
5	Morphismes continus de $S^1$ dans $GL_n(\mathbb{C})$.
5	Déterminant circulant
5	Automorphismes d'un corps cyclotomique
5	Décomposition des groupes abéliens finis
5	Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q
5	Calcul algébrique de la somme quadratique de Gauss
5	Théorème de Burnside (Groupes simples)
5	Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles
5	Morphismes continus de S1 dans GLn(R)
5	Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse
5	Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre
4	Sous-groupes de (R,+)
4	Adhérence des racines de la matrice identité
4	Orthogonalisation sur un groupe abélien
4	Partition d'un entier en parts fixées
4	Structure des groupes abéliens finis
4	Étude des polynômes cyclotomiques (coefficients entiers, unitaire et irréductible sur Z)
4	Étude des polynômes cyclotomiques (+ corollaire sur les corps finis).
4	Le théorème de Gauss-Lucas et une application
4	Théorème de Chebotarev
4	Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis
3	S4 est un groupe de pavage
3	Théorème du relèvement
3	Le groupe SO2(Fq)
3	Caractérisation des triangles équilatéraux
3	Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
3	Théorème de Wedderburn
3	Déterminant circulant et suite de polygones
3	Représentations et sous-groupes distingués
3	Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]
3	Suite de polygones
2	Ellipse de Steiner
2	Construction des codes cycliques, classes cyclotomiques
2	Marche aléatoire sur Z/nZ
1	Equation de la chaleur dans L^2(\R^d) [vide]
1	Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
1	Morphismes continus du groupe GLn(C) vers le groupe C*
1	Théorème de Burnside
1	Somme Gauss
1	Table des caractères de Dn
1	Slim
1	Polynômes cyclotomiques

Plans

Rajouter une version

Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Les références sont à la fin des plans. Leçon que je n'apprécie pas. Mon plan a été fait en début d'année je suis sur qu'on peut mieux faire. Pour le IV je pense qu'il faut aussi utiliser Berhuy Algèbre le grand combat, car il parle des nombres complexes constructibles ce qui permet de gagner un peu de temps sur le dev 2 (qui est long). Regardez ma leçon 127 (c'est un plan semi détaillé) mais normalement il y'a tous les résultats qu'il faut pour le dev.

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Références :

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/agrégation Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Tintin

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Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Tout-en-un MPSI

Analyse complexe pour la Licence 3

Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités

Cours d'algèbre

Algèbre

Oraux X-ENS Algèbre 1

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Carnet de voyage en Algébrie

Oraux X-ENS Algèbre 2

Utilisateur : Mathis Lemay

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Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon. Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant : Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie) Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références... Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin) De même, pour la partie \"Rotations vectorielles\", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit. Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...

Références :

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Analyse complexe pour la Licence 3

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Géométrie

Théorie de Galois : Niveau L3-M1

Algèbre et probabilités

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 102. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Références :

Cours d'algèbre

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Algèbre

Oraux X-ENS Algèbre 1

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Analyse complexe pour la Licence 3

Géométrie

Utilisateur : Hugo

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Pas un grand fan de cette leçon, mais les développements que j'ai choisis me semblent pertinents. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1 = Tout-en-un licence 1

Références :

Analyse complexe pour la Licence 3

Algèbre

Cours d'algèbre

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Références :

Cours d'algèbre

Algèbre

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Algèbre et géométrie

Géométrie

Cours d'algèbre

Algèbre

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : Agent B0

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J'aime pas cette leçon, surtout l'organisation sur la géométrie, les angles.

Références :

Algèbre

Algèbre discrète de la transformée de Fourier

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Géométrie

Cours d'algèbre

Utilisateur : JULIEN L

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Références :

Groupes, algèbres et géométrie, tome 1

Algèbre L3

Algèbre linéaire

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Références :

Utilisateur : EWna

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Référence supplémentaire: <i>Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg</i> J'avais initialement ajouté le paragraphe sur les angles orientés, non orientés, mesure principale et écart angulaire pour combler le vide laissé par l'absence de caractères, mais finalement la leçon est déjà assez longue sans ça (on peut donc enlever les items 40 à 44).

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre

Oraux X-ENS Algèbre 1

Analyse complexe pour la Licence 3

Elements d'analyse réelle

Utilisateur : Pandou

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Références :

Oraux X-ENS Algèbre 2

Cours d'analyse

Géométrie analytique classique

Représentations linéaires des groupes finis

Utilisateur : Jouaucon

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Plan presque entièrement tiré du Dreveton (par manque d'inspiration). Pour un plan un peu plus propre aller voir: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Dre] Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral : Dreveton [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [Per] Cours d'algèbre : Perrin [FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou

Références :

Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Cours d'algèbre

Oraux X-ENS Analyse 2

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral

Utilisateur : Marvin

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Références :

Théorie des corps

Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre

Algèbre discrète de la transformée de Fourier

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Analyse complexe pour la Licence 3

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Références :

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Géométrie

Théorie de Galois

Théorie des Groupes

Oraux X-ENS Algèbre 2

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Marie

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Mis à jour le 31.05.17

Références :

Algèbre

Groupes, algèbres et géométrie, tome 1

Oraux X-ENS Algèbre 1

Utilisateur : Promo ENSL 2017

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Références :

Utilisateur : Victor

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.2025

Rapport du jury 2023

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Rapport du jury 2023

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