120 - Anneaux Z/nZ. Applications.2025

Rapport du jury 2023

Il est attendu de construire rapidement $Z/nZ$, puis d'en décrire les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les idéaux. Ensuite, le cas où l'entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice d'Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables. Il est naturel de s'intéresser à la résolution des systèmes de congruences Les applications sont très nombreuses. Les candidates et candidats peuvent, par exemple, choisir de s'intéresser à la résolution d'équations diophantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème RSA. Si des applications en sont proposées, l'étude des morphismes de groupes de\r$Z/nZ$ dans $Z/mZ$ ou le morphisme de Frobenius peuvent figurer dans la leçon.\r\rPour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, s'intéresser au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.

Rapport du jury 2022

On construit rapidement $Z/nZ$, puis on en décrit les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les\ridéaux. Ensuite, le cas où l'entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice\rd'Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables.\rLes applications sont très nombreuses. Les candidats peuvent, par exemple, choisir de s'intéresser à la\rrésolution d'équations diophantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème\rRSA. Si des applications en sont proposées, l'étude des morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$\rou le morphisme de Frobenius peuvent figurer dans la leçon.\rS'ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois\rlorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM\rde ces éléments.\rEnfin, les candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant au calcul effectif des racines carrées dans\r$Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.

Rapport du jury 2020

Dans cette leçon, après avoir rapidement construit $Z/nZ$, il faut en décrire les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les idéaux. Ensuite, le cas où l’entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice d’Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables.$$$$\r\rLes applications sont très nombreuses. Les candidats peuvent, par exemple, choisir de s’intéresser à la résolution d’équations diopantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème RSA. $$$$\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM\rde ces éléments. $$$$\r\rEnfin, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.

Rapport du jury 2019

Dans cette leçon, après avoir rapidement construit $Z/nZ$, il faut en décrire les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les idéaux. Ensuite, le cas où l’entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice d’Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables. \r\rLes applications sont très nombreuses. Les candidats peuvent, par exemple, choisir de s’intéresser à la résolution d’équations diophantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème RSA. Si des applications en sont proposées, l’étude des morphismes de groupes de $Z/nZ$ dabs $Z/mZ$ ou le morphisme de Frobenius peuvent figurer dans la leçon. \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM de ces éléments.\r\r Enfin, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.

Rapport du jury 2017

Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$.\r\rIl est nécessaire de bien maîtriser le théorème chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM de ces éléments. \r\rIl faut bien sûr savoir appliquer le théorème chinois à l’étude du groupe des inversibles et, ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du théorème chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents. \r\rEnfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.

Rapport du jury 2016

Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l’étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon de\rdistinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents.\r\rEnfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.

Rapport du jury 2015

Cette leçon, souvent choisie par les candidats, demande toutefois une préparation minutieuse.Tout d'abord, $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Et pour les candidats plus étoffés, connaître une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d'anneaux, de connaître les automorphismes,les nilpotents, les idempotents...Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ telles que l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l'algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon.

Rapport du jury 2014

Cette leçon, plus élémentaire, demande toutefois une préparation minutieuse. Tout d'abord $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $Z/nZ$ et les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. \r\rBien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles. Distinguer clairement propriétés de groupes additifs et d'anneaux. Connaître les automorphismes, les nilpotents, les idempotents. Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $Z/nZ$, telles l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies.\r