266 - Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.2025

Rapport du jury 2022

L'indépendance est centrale en probabilités et démarque cette théorie de celle de l'intégration. À partir de la notion élémentaire de probabilité conditionnelle, on pourra introduire l'indépendance de deux événements, l'indépendance mutuelle d'une suite d'événements, voire celle d'une suite de tribus, puis l'indépendance de familles de variables aléatoires. Le programme fournit plusieurs utilisations élémentaires de l'indépendance : lien avec l'espérance, la variance et la covariance, loi faible des grands nombres, lemmes de Borel-Cantelli, stabilité de certaines lois (normale, Cauchy). \r\rPour aller plus loin, on pourra aborder la loi forte des grands nombres ou le théorème central limite, ou l'étude de la marche aléatoire symétrique sur Z.\r\rLes candidats aguerris pourront aborder la loi du 0-1 de Kolmogorov, la convergence des séries de variables aléatoires indépendantes, la loi du logarithme itéré, les vecteurs gaussiens.

Rapport du jury 2020

L’indépendance est centrale en probabilités et démarque cette théorie de celle de l’intégration. La motivation de cette leçon est de présenter cette notion de façon cohérente et de l’illustrer par des énoncés fondamentaux et des modèles importants. $\\$ À partir de la notion élémentaire de probabilité conditionnelle, on pourra introduire l’indépendance de deux événements, l’indépendance mutuelle d’une suite d’événements, voire celle d’une suite de tribus, puis l’indépendance de familles de variables aléatoires. Ces notions doivent être illustrées par des exemples et des énoncés simples (indépendance deux à deux et indépendance mutuelle,indépendance et opérations ensemblistes, etc). Il est important de pouvoir présenter un espace de probabilité sur lequel sont définies $n$ variables aléatoires indépendantes, au moins à un niveau élémentaire pour des variables discrètes ou à densité. De façon plus sophistiquée, on peut envisager de donner une construction d’un espace de probabilité sur lequel est définie une suite de variables aléatoires réelles indépendantes ayant des lois prescrites. $\\$ Au delà des définitions, il est nécessaire de décliner quelques propriétés simples de l’indépendance,notamment celles en lien avec l’espérance et, plus spécifiquement, les notions de variance et de covariance, ce qui peut s’illustrer par exemple par l’obtention de lois faibles des grands nombres. $\\$ Une autre illustration possible consiste en la représentation des variables usuelles (binomiales, géométriques, hypergéométriques,...) à l’aide d’expériences indépendantes élémentaires. Grâce aux divers critères utilisant les fonctions ou transformées caractérisant les lois (densité, fonction génératrice, fonction de répartition à $n$ variables, fonction caractéristique, etc) il est possible de présenter les propriétés d’indépendance remarquables dont jouissent les lois usuelles (lois de Poisson, lois normales, lois exponentielles, lois de Cauchy ou, pour aller plus loin, par exemple,la traduction de l’indépendance des vecteurs gaussiens en termes d’algèbre bilinéaire). $\\$ Les réciproques du lemme de Borel-Cantelli et la loi du 0-1 de Kolmogorov, plus sophistiquée, tiennent une place de choix dans cette leçon ; elles permettent notamment d’obtenir des convergences presque sûres. De manière générale, il est important d’illustrer cette leçon par desexemples tels que l’étude des records ou les propriétés du minimum de variables exponentielles in-dépendantes ou bien les statistiques d’ordre, ou encore le principe du « singe tapant à la machine »,etc. Enfin, la promenade aléatoire simple symétrique sur $\textbf{Z}$ est une riche source d’exemples.