221 - Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.2025

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Cette leçon est plus facile à faire que la 220 et on peut (quasiment) la faire entièrement avec le Berthelin. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants, non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. De plus, les résultats sur le wronskien et la résolvante peuvent être minimes car on n'en demande pas une étude très poussée. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Voici un plan possible pour la leçon 221. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue ! Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter \"certaines EDP linéaires\". Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin. Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Je conseille de préparer cette leçon tôt dans l'année, surtout si vous n'êtes pas à l'aise avec les équations différentielles, ce qui est mon cas. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai utilisé le Demailly et le Benzoni-Gavage.

Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple : - retrouver l'équation du pendule : x\" + sin x = 0 - si x est petit on est dans le cas linéaire : x\" + x = 0 (c'est le cas qui nous importe dans cette leçon) - on peut tracer le portrait de phase au tableau

Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin [ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...