105 - Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025

Leçon choisie : 1491

Autre leçon : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Sous-groupes distingués et tables de caractères

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement, je m'en sors. Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement. Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3. Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine. Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre). Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation. Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier. Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition. Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité. Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

Note obtenue : 11.0

Leçon choisie : 1491

Autre leçon : Exemples d’équations en arithmétique.2023

Développement choisi par le jury : Isomorphisme kleinien

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Jury très attentif pour le développement puis beaucoup de questions sur les résultats utilisés (classification des formes quadratiques sur un corps fini, pourquoi le Frobenius permute les racines du polynôme minimal (...) ainsi que quelques questions sur le groupe dérivé). - Jury moins attentif sur le plan (une des jury m'a demandé pourquoi je n'avais pas parlé de groupes d'isométries de solide, ma réponse fut de lui indiquer le numéro correspondant dans le plan...). - Très insistant sur les polynômes symétriques et l'algorithme associé, résolution sur un exemple. - Rapide question sur le nombre minimal de transposition pour engendrer S_n.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Seul un des jurys posait des questions, tendance à l'aide, pas cassant du tout... Certains passages ressemblaient plus à une discussion qu'à autre chose.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai mis un peu de théorie de Galois, j'étais surpris que le jury ne parte pas dans cette direction. Sinon il faut veiller à tout définir même les choses évidentes comme le S... de SL_n(K), SO(n,K), SO(q)...

Note obtenue : 18.75

Leçon choisie : 1491

Autre leçon : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025

Développement choisi par le jury : Pas de réponse fournie.

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Jury : Est-ce que la représentation standard est toujours utile ? Votre serviteur : Oui, mais autant on peut trouver la table de $\mathfrak{S}_4$, autant c'est moins évident pour les autres $\mathfrak{S}_n$. D'ailleurs, peut-être que ça ne donne qu'un caractère en plus parfois ?* [Regarde pour la classe des transpositions.] Ah, pour $n\eq 3$ ça donne bien toujours deux représentations. Et pour $n=3$ [Calculs.] le caractère tordu est le même. * Ça donne toujours un caractère en plus, et parfois la torsion par la signature en donne un deuxième gratuit. J (c'est le vieux qui baragouine) : Est-qu'il y a un élément d'ordre 15 dans $\mathfrak{S}_5$ ? VS : Non parce que… J : Regardez le cardinal de $\mathfrak{S}_5$. VS, un peu agacé : C'est 120, donc ça ne nous aide pas. Par contre, on peut conclure parce que si on avait un élément d'ordre 15, blablabla, d'après la décomposition en produit de cycles, blablabla. J : Alors quel est le premier $\mathfrak{S}_n$ pour lequel on a un élément d'ordre 15 ? VS : $\mathfrak{S}_8$ pour les mêmes raisons. J : Si on regarde les isométries du carrés comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, qu'est-ce qu'on trouve ? VS : Alors il y a telle symétrie qui donne telle permutation, telle rotation qui donne telle permutation… J : Qu'est-ce que vous êtes en train de construire comme groupe ? VS : Le groupe diédral $D_4$ ? J : Et est-ce qu'on peut généraliser le résultat ? VS : oui, $D_n$ est toujours inclus dans $\mathfrak{S}_n$. J : Que peut-on dire des représentations des groupes de cardinal $p^3$ ? VS (je fais la version sans l'hésitation, ça a pris un certain temps) : Soit le groupe est commutatif, et on connait ses représentations, soit $Z(G)$ est de cardinal $p$ (centre non trivial et quotient non cyclique). Ensuite, on peut regarder les représentations de dimension 1, qui se factorisent par le groupe dérivé. Je n'ai pas été franchement plus loin.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt faisable, pas facile mais pas franchement dur non plus. Les gens ont été plutôt cools, sauf un vieux qui marmonnait et qui ne faisait aucun effort d'articulation. Mais les autres lui demandaient de se taire, donc ça allait.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas du tout de questions sur le plan, ça m'a étonné.

Note obtenue : 17.25