157 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025

Leçon choisie : 1511

Autre leçon : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025

Développement choisi par le jury : L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Assez déçu du tirage, je tombe sur deux leçons que j'ai préparé mais loin de mes sujets de prédilections. J’ai essayé de faire ma leçon rapidement parce que je sais que la méthode de gradient est assez longue donc je voulais bien l’avoir en tête, j’ai pas été trop ambitieux sur le plan, je me suis cantonné au minimum. Le jury me demande l’autre développement au final, celui que j’avais déjà présenté l’année dernière. A la suite du dev, on me demande de définir l’exponentielle de matrice, je crois que je l'ai pas trop fait proprement malheureusement, aussi de préciser mon polynôme interpolateur que j'utilise dans la preuve, et d'expliquer pourquoi la norme 2 dans le cas des matrices symétriques donne le rayon spectral. Aussi, on me demande pourquoi $A↦A−1$ est continue (il faut passer par la formule avec la comatrice) et pourquoi $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$ (Argument de continuité). Puis on passe rapidement au plan, on me demande si en plus de la somme directe entre les matrices symétriques et antisymétriques, il n’y a pas autre chose d’un point de vue euclidien. Donc on a regardé la forme Trace et en fait les deux espaces sont orthogonaux. Ensuite, par rapport au théorème spectral, on me demande pourquoi les espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux , je m’exécute. Enfin, on m’interroge sur une proposition de mon plan qui dit $S_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert dans $M_n(\mathbb{R})$ (J'ai mal dû lire ce qui était écrit dans le Rombaldi), finalement ils m’ont dit que c’était plutôt ouvert dans $S_n(\mathbb{R})$ et l’oral s’est arrêté là.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1511

Autre leçon : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Indicateur de Frobenius-Schur

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Au début, des questions sur le développement : quelques rectifications mineures (oubli de lettres, mauvais mot, etc), puis on me demande à quoi tout cela sert. Je leur parle du cas où on a des actions réelles, ça donne des identités ; je dis aussi que ça peut permettre de distinguer deux groupes (il me demande un exemple : le groupe diédral a une représentation irréductible réelle de degré 2, alors que celle des quaternions n’est pas réalisable sur les réels). Pour les questions : — Calculer le rang de $^tAA$ ; pourquoi $\ker(^t AA)= ker(A)$ ? — Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable (j’ai un peu eu du mal mais j’ai trouvé après des indications) — Combien d’orbites pour la congruence sur les matrices symétriques réelles ? (réponse : $n(n+1)/2 +n+ 1$) — Est-ce que $\mathcal S^{+}_{n}(\mathbf R)$ a une structure algébrique ? Et $\mathcal S^{++}_{n}(\mathbf R)$? — Montrer que $\text O_n(\mathbf R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbf R)$ (celui-là j’ai un peu galéré ; cf Caldero-Germoni pour détails)— J’ai parlé de réduction simultanée de deux formes quadratiques, mais ils ne l’avaient pas vu dans mon plan : ils m’ont demandé ce que c’était.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Il était à l'écoute, et pouvait aider au besoin.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je me suis moi-même surpris au temps sur le développement.

Note obtenue : 18.25