170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.2025

Rapport du jury 2022

L'intitulé implique implicitement que le candidat ne doit pas se contenter de travailler sur R. On peut par exemple adopter le point de vue de l'action par congruence du groupe linéaire sur l'espace des matrices symétriques, ce qui permet de dégager quelques invariants (rang, discriminant), de s'interroger sur le nombre et la structure des orbites, L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être mis en oeuvre sur une forme quadratique simple. En ajoût de la a classification sur R, le candidat pourra parler de la classification des formes quadratiques sur le corps des complexes. Il est aussi possible de s'intéresser à la classification sur les corps finis. On peut s'intéresser au groupe orthogonal (générateurs, structure du groupe quand l'espace est de dimension 2). Le lien avec la dualité des espaces vectoriels permet de comprendre le sens de la décomposition de Gauss et de comparer les notions de sous-espace orthogonal, en s'interrogeant sur les conditions pour que que l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel en soit un supplémentaire.\r\rLes notions d'isotropie et de cône isotrope doivent être connues. On pourra rattacher cette notion à la\rgéométrie différentielle. Pour aller plus loin, l'étude de la géométrie d'un espace vectoriel muni d'une\rforme quadratique de signature (p,q) peut-être envidagée, notamment la structure du cône de lumière\rde l'espace-temps de Minkowski, avec la traduction géométrique de la notion d'orthogonal dans ce cas\ret des propriétés du groupe O(p,q).