121 - Nombres premiers. Applications.2025

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Dirichlet faible

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Remarque: ceci est un retour sur la session 2024 non 2023, je sais pas lire désolé. Le jury a choisi le théorème de Dirichlet faible (ma version est celle du FGN), le développement s'est déroulé sans problèmes. Pour les questions sur le développement : - le jury m'a demandé de repréciser pourquoi, lorsque l'on montre que l'ordre de $a$ est exactement $n$, si $p$ ne divise pas $\Phi_{d'}(a)$ alors le produit sur les $d'$ divisant $d$ est également non nul modulo $p$. J'ai évoqué, comme c'est le cas dans la référence et dans les divers versions de ce développement sur ce site, le fait que $\mathbb{F}_p$ soit un corps (intégrité), cela n'a pas vraiment convaincu le jury mais comme visiblement je n'arrivais pas à donner l'argument qu'ils attendaient ils sont passés à autre chose (j'ai très certainement perdu des points là dessus car j'étais persuadé que cet argument fonctionnait mais le jury n'était pas d'accord peu importe ce que je leur disais...) - ensuite ils m'ont demandé pourquoi on avait le droit de choisir $a$ de telle sorte que $\Phi_{d}(a)$ soit différent de $0$, $1$ ou $-1$ (nombre fini de racines). On est ensuite passé aux questions sur le plan et exercices. Questions sur le plan : - le jury m'a demandé de démontrer les résultats sur les polynômes cyclotomiques utilisés dans le développement que j'avais aussi mis dans le plan (la formule avec $X^n-1$ et le font qu'ils sont unitaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ par récurrence et division euclidienne, facile à faire) - je parlais des tests de primalité dans mon plan et un des membres du jury m'a demandé si je connaissais un critère pour savoir où fallait-il s'arrêter pour connaître la primalité ou non d'un entier n, il s'agissait du résultat avec racine de n (voir Rombaldi par exemple). Évidemment je l'ai oublié et on a perdu 5 bonnes minutes pour que j'essaye de m'en rappeler alors que c'est un résultat très simple, j'ai dû perdre pas mal de points là dessus. - je mentionnais également les carrés dans les corps finis (le paragraphe du Perrin copié-collé) et le jury m'a demandé de reprouver le cardinal des carrés non nuls de $\mathbb{F}_q$ (j'ai réussi à le faire) et l'oral s'est terminé sur ça.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était extrêmement bienveillant et donnait de l'aide alors que j'étais très nul sur deux questions.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Tout est très bien organisé, rien à signaler.

Note obtenue : 12.0

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025

Développement choisi par le jury : Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Après le développement sur le théorème des 2 carrés (pour les nombres premiers), on me demande d'expliquer à l'oral comment en déduire le théorème général sur les entiers (qui était dans mon plan comme corollaire). J'arrive à expliquer dans les grandes lignes. Ensuite j'ai eu quelques exercices d'arithmétique, quelques exercices sur les p-groupes (j'en parlais un peu dans mon plan), et quelques exercices sur le symbole de Legendre. J'ai à peu près tout réussi, parfois avec l'aide du jury. Le jury tenait à poser des exercices uniquement en lien avec ce qui était dans mon plan. Il faut donc bien orienter le plan vers des choses que l'on aime (ce qui est possible sur cette leçon qui est très large), et que l'on maitrise ! Par exemple ma partie sur les p-groupes était assez courte et je n'énonçais que des résultats assez simples, mais j'ai quand même eu beaucoup d’exercices dessus, certains assez poussés. C'est vraiment important de maîtriser chaque notion dont on parle.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury aidait beaucoup, il ne laissait jamais réfléchir plus d'une minute. Il y avait donc un échange permanent, ce qui était plutôt agréable et permettait d'avancer vite et de faire beaucoup d'exercices. Le jury était cependant très neutre.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
RAS, tout était bien organisé. J'ai fait un plan en 2h15, sans trop me presser, même si je n'avais pas du tout préparé cette leçon avant et que j'ai donc du prendre un peu de temps pour réfléchir à l'organisation du plan. Ensuite pendant 30 min j'ai refait sur feuille chacun de mes développements, 2 fois, et enfin sur le quart d'heure restant j'ai relu mon plan et corrigé quelques bricoles, et réfléchi un peu dans ma tête à ce que j'allais pouvoir dire pendant les 6 min de présentation.

Note obtenue : 16.0

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Dirichlet faible

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Vous dites que Z[X] n'est pas euclidien, mais qu'on peut quand même faire une division euclidienne avec ce polynôme. Expliquer. - A-t-on toujours unicité de cette \"décomposition euclidienne\" ? - Vous avez précisé que vous pouvez appliquer cette égalité de polynômes car les \"racines sont simples\", expliquez. (un détail qui manquait de précision dans mon dev pour montrer que X^n-1 = produit des phi_d) - Calculer phi_6 (utiliser la formule précédente et tripatouiller un peu pour trouver phi_6(X) = 1-X+X² - Montrer que les triangulaires supérieures à diagonale unité forment un p-Sylow de GL_n(F_p) (c'était dans mon plan) - Existe-t-il un corps à 10 éléments ? - 17 est-t-il un carré modulo 41 ? (j'ai pris l'initiative de montrer que 41 était bien premier avant, puis avec la réciprocité quadratique, c'était tout bon) - Posons p=41. Ecrivez F_41² comme quotient de F_41 par quelque chose (direct avec la question précédente: X²-17 est irréductible car 17 n'est pas un carré modulo 41) - Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6 (poser n = 6 p_1 ... p_n + 5 si il y en a un nombre fini, et décomposer n en produit de nombres premiers, en remarquant que ces nombres premiers sont tous congrus à 1 modulo 6). - La dernière était était bizarre, et j'avais absolument aucune idée. Il m'a demandé s'il y avait \"beaucoup\" de nombres premiers à 10 chiffres. L'oral s'est terminé là-dessus.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très souriant et sympathique, en particulier celui du milieu qui semblait \"diriger\" la séance. Les deux autres étaient un peu plus muets et distants.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
A part le fait que j'ai réalisé cet oral sur un tableau blanc (d'autant que les trois quarts de ces foutus feutres n'avaient plus d'encre), tout s'est bien passé.

Note obtenue : 15.75

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Niveau développement, le jury avait le choix entre : \"Le critère d'Eisenstein et l'application à l'irréductibilité de $\Phi_p$\" ou \"Le théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)\"... J : Sur le développement, pourquoi $p$ divise les coefficient $q_i$ et $r_i$ ? Par exemple que se passerait-il si $p=8$ ? R du candidat : En particulier comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ est un anneau principal donc factoriel et il y a alors l'unicité de la décomposition en irréductibles. Pour $p=8$, j'exhibe un contre-exemple simple, ce qui montre l'importance de $p$ nombre premier. (Le jury ne semble pas convaincu). J : Rappeler pourquoi $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $k\in [1,p-1]$ ? (Par rapport à l'irréductibilité de $\Phi_p$ toujours dans l'application de mon développement). R du candidat : J'écris l'égalité du coefficient binomial à sa forme fractionnaire et fait passer le dénominateur de l'autre côté afin d'appliquer le lemme de Gauss élémentaire sur la divisibilité. Ils voulaient plus de précision, j'ai donc utilisé le théorème de Wilson (c'était dans mon plan) en précisant qu'on peut le démontrer par Bézout, pour justifier totalement la divisibilité initiale. (Le jury dit ok). J : Sur le plan pédagogique pourquoi avoir fait une sous-partie \"nombres premiers entre eux\" ? R du candidat : Je trouve que le titre \"nombres premiers\" est pas suffisamment précis, donc je trouve que c'est plutôt légitime d'en parler un peu. D'ailleurs je l'ai aussi fait, car si on prend le cas de deux nombres premiers, ils sont forcément premiers entre eux, et cela permet d'obtenir d'autre propriétés intéressantes sur l'arithmétique des entiers telles que le lemme chinois avec les problèmes de congruences ou encore les équations diophantiennes de degré 1. (Le jury dit ok). J : Comment savoir si un nombre est premier ? R du candidat : Je précise dans mon plan, qu'en partie 4, j'ai parlé de trois tests importants de manière logique et progressive dont un probabiliste (Fermat, Euler et Solovay-Strassen) mais qu'il existe des tests plus basiques comme le crible d'Eratosthène ou encore celui de la méthode des diviseurs premiers jusqu'à la partie entière de la racine du nombre. Exemple sur 113 où j'en profite pour rappeler les règles de divisions par $2$, $3$ et $5$ et aussi comment la division euclidienne peut être utile. (Le jury dit ok). J : D'ailleurs, pour une équation diophantienne de degré $1$, y a-t-il unicité du couple de solutions ? R du candidat : Non d'après le théorème de Bézout, il existe une infinité de couple d'entiers qui vérifie par exemple l'équation $ax+by=1$. On essaye par exemple sur $a=5$ et $b=7$ où on trouve des solutions particulières à la main (petits nombres) et on applique la méthode habituelle pour avoir la forme générale des couples de solutions. Au lieu de $1$ on peut prendre $d$ entier tel que $pgcd(a,b)$ divise $d$. (Le jury dit ok). J : Mais sinon y a-t-il des méthodes algorithmiques pour trouver de tels couples d'entiers ? R du candidat : On peut commencer par utiliser l'algorithme une division euclidienne jusqu'au dernier reste non nul et on fait ce qu'on appelle une remontée de Bézout. Mais algorithmiquement c'est lourd. Sinon de manière plus efficace on peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide. (Le jury dit ok et ne semble pas en vouloir plus). J : A quel autre domaine des mathématiques vous fait penser une équation de la sorte ? R du candidat : On peut penser notamment au domaine de l'algèbre linéaire notamment avec le cas des systèmes affines (ici). On reprend l'exemple de $a=5$ et $b=7$ et ils me demandent le noyau \"du système\". On trouve bien une droite linéaire. (Le jury dit ok). J : Ok, prenons l'équation $x^2+y^2=7z^2$. Quelles sont les solutions entières ? R du candidat : Le premier réflexe que j'ai c'est de passer modulo $7$ et c'est la bonne idée. Ils me précisent que l'on fait l'hypothèse qu'un des deux est inversible modulo $7$. Donc j'arrive une contradiction avec une propriété sur les carrés modulo $p=7$ (le fameux critère $p\equiv 1 \pmod 4$). Et je précise aussi que puisque $7$ est un nombre premier, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps donc un des deux $x$ ou $y$ est nécessairement divisible par $7$. Ils me demandent ensuite s'il n'y a pas une solution qui marche directement et je précise en effet que la triviale convient. On l'élimine donc et pour conclure l'exercice, j'ai du mettre en place comme je le précise au jury la méthode de \"descente infinie\" afin de terminer et s'apercevoir que seul $(0,0,0)$ marche. (Le jury dit ok). J : Expliquez RSA et sa sécurité ? R du candidat : J'explique plus en détails l'énoncé du plan car c'était peut-être mal rédigé et du coup c'est plus clair dans leur tête. Ensuite, je précise par rapport à la sécurité de RSA, que si un attaquant souhaitait intercepté le message (sans clé privée bien sûr) il devrait extraire une racine $e$-ième modulo $p$. C'est un problème type \"log discret\" qui est généralement \"difficile\". (Le jury dit ok).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient corrects et bienveillants. Ils m'ont donné des petites indications quand je mettais un peu de temps à répondre mais ils laissaient le temps de s'exprimer. Déçu qu'ils n'aient pas poser de questions sur la partie \"théorie des anneaux\" où les éléments premiers ne sont pas toujours ceux que l'on croit. Dommage car c'est une partie intéressante mais bon... Les trois jurys ont participé a la discussion. Au final, je pensais m'être débrouillé et avoir fait un oral correct (je pensais avoir au moins la moyenne par exemple) mais au vue de la note finale, on peut se fier à rien et encore moins à leur attitude (peut-être qu'ils n'ont pas accroché à mon approche de cette leçon, je ne sais pas). C'est la vie :'( ...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Il faut compter environ 2h40 pour composer (chercher les livres dans les malles ou dans son sac et faire attention au moment des photocopies). J'avais préparé sérieusement cette leçon pendant l'année en classe (de base j'étais allé plus loin, notamment dans les tests de primalités et les notions de factorisation de grands nombre ainsi que dans le domaine des racines modulo $p$) mais le jour-j, avec le stress, on en sait un peu moins que d'habitude et donc j'ai mis les résultats où j'étais sûr. Mais bon je ne sais pas si ça a changé grand chose au final. Donc je recommanderais, de bien s'entraîner au format 3h pendant l'année pour avoir aucune surprise... Sinon les surveillants dans les salles et ceux qui mènent à \"l'abattoir\" sont sympathiques et disponibles !

Note obtenue : 4.25

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois) -Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ ) -Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) ) -Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.) -Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\eq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.) -Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS) -Expliquer \"méthode de Monte-Carlo\" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond \"Non\", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond \"Oui\". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.) -Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.) -Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel ) -Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. ) -Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas) -Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillant dans le fond. L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité. Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

Note obtenue : 19.0

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Dirichlet faible

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques précisions sur le développement ont été demandées. Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.2025

Développement choisi par le jury : Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$? 2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas. 3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ? 4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Aucune surprise.

Note obtenue : 15.75

Leçon choisie : 1495

Autre leçon : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Chevalley-Warning

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement. Questions : - pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur) - trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier). - si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel). - quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

Note obtenue : 19.0