158 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2025

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d'endomorphismes normaux peut être évoquée.\r\rL'étude des projections orthogonales (en lien ave le calcul de distances), des rotations, des réflexions,\rdes renversements, etc. fournit des exemples dignes d'intérêt. Une illustration pertinente peut s'appuyer\rsur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l'hypothèse de rang\rplein de A sur le caractère inversible de $A^\top A$.