229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2022

L'existence de limite à droite et à gauche pour les fonctions monotones ainsi que la régularité des fonctions convexes doivent bien sûr être abordées. La convexité est évidemment également une source inépuisable d'inégalités, dans divers domaines y compris les probabilités. \r\rSi la monotonie concerne les fonctions réelles d'une seule variable réelle, la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$. La recherche de leurs extrema constitue un riche thème d'étude.\rUne autre piste est l'étude et l'utilisation des fonctions de répartition en probabilités.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones, ou à la continuité, voire la différentiabilité, des fonctions convexes dénies sur un ouvert convexe de $R^n$.

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Rapport du jury 2022

Rapport du jury 2019

L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\textbf{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. $\\$ L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $\|Ax-b\|^2$ illustrent agréablement cette leçon. $\\$ Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.

Rapport du jury 2017

L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $||Ax-b||^2$ pourront illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.

Rapport du jury 2016

L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d’utilisation.\r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.

Rapport du jury 2015

Les propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle sont attendues. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\mathbb{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. Pour les candidats solides, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.

Rapport du jury 2014

Les candidats sont invités à réfléchir à l'incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. \r\rPour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction. \r

Développements

5	Système de Lotka Volterra
5	Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)
5	Ellipsoïde de John Loewner
5	Théorème de Helly
5	Continuité des fonctions convexes
5	Théorème d'Artin (fonction Gamma)
5	Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle
5	Une condition suffisante de convexité
5	Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité
5	Étude des fonctions à variations bornées
5	Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
5	Caractérisation des fonctions différentiables convexes
5	Inégalités dans les Lp
5	Inégalité de Carleman
5	Théorème de Lebesgue
5	Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar
5	Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp
5	Descente de gradient à pas constant
5	Etude des fonctions à variations bornées.
5	Inégalités de Jensen et application à l'espérance d'une variable aléatoire réelle.
5	Étude du processus de Galton-Watson
5	Etude de la fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup
4	Point de Fermat d'un triangle
4	Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums
4	La courbe brachistochrone
4	Algorithme du gradient à pas optimal
4	Fonction Gamma
4	Étude de la fonction Γ sur R
4	Étude de l'équation x' = x^2 - t
4	Log concavité et minkowski
4	Convergence de la méthode de Newton
3	Optimisation dans un Hilbert
3	Théorème de Glivenko-Cantelli
3	Matrices symétriques et convexité
3	Théorème de Cantor sur l'unicité des coefficients d'une série trigonométrique
3	Les automorphismes isométriques des l(p)
3	Inégalité de Hoeffding et deux applications
3	Méthode de Newton
3	Escalier de Cantor
3	Chemin au dessus d'une courbe concave
2	Méthode du gradient projeté
1	[Galton-Watson : doublon]
1	Théorème de Bohr Mollerup
1	Théorème de Prokhorov
1	Étude qualitative de x' = x^2 - t
1	Inégalité de Hoeffding

Plans

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Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Références :

Utilisateur : Tintin

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La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)... L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Tout-en-un MPSI

Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités

Algèbre et probabilités

Tout-en-un MP/MP*

Analyse

Elements d'analyse réelle

Petit guide de calcul différentiel

Utilisateur : Mathis Lemay

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Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation \"futée\" de l'inégalité des pentes. L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez... Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières... J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)

Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Elements d'analyse réelle

Analyse réelle et complexe

Analyse

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 229. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Elements d'analyse réelle

Probabilités pour les non-probabilistes

Analyse

Objectif Agrégation

Oraux X-ENS Algèbre 3

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Hugo

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Plan classique donc plutôt simple à apprendre. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Références :

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Petit guide de calcul différentiel

Analyse. Théorie de l'intégration

Calcul Intégral

Carnet de voyage en Analystan

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Références :

Elements d'analyse réelle

Objectif Agrégation

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Utilisateur : Julie_D

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C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus le jour du vrai oral, j'aurais mis plus d'applications (notamment l'inégalité de Hoeffding).

Références :

Analyse

Cours d'analyse

Petit guide de calcul différentiel

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Petit guide de calcul différentiel

Analyse matricielle

Oraux X-ENS Analyse 4

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : Agent B0

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J'ai trop de réf sur cette leçon. Je pense qu'on pourrais enlever le Ramis.

Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Objectif Agrégation

Analyse réelle et complexe

Elements d'analyse réelle

Analyse pour l'agrégation

Exercices de probabilités

Utilisateur : JULIEN L

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Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Objectif Agrégation

Utilisateur : EWna

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J'ai forcé Lotka-Volterra pour m'enlever un développement, mais c'est tout de même un développement plutôt hors sujet...

Références :

Elements d'analyse réelle

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Petit guide de calcul différentiel [Doublon]

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Utilisateur : Crépusculaire

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Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Elements d'analyse réelle

De l'intégration aux probabilités

Oraux X-ENS Algèbre 3

Utilisateur : Mylene

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Références :

Analyse

Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Elements d'analyse réelle

Analyse réelle et complexe

Probabilités

Utilisateur : SUBLET

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Références :

Utilisateur : Pandou

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Références :

Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Analyse

Cours d'analyse

Elements d'analyse réelle

Cours de mathématiques, Tome 2 : Analyse

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [RDO] Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3 : Ramis, Deschamps, Odoux [GouAn] Analyse : Gourdon [Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi [Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis [NR] No Reference :( [Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière

Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Analyse

Elements d'analyse réelle

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Petit guide de calcul différentiel

Utilisateur : Maurer

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Références :

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral

Analyse

Objectif Agrégation

Utilisateur : Marvin

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Références :

Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Elements d'analyse réelle

Oraux X-ENS Analyse 4

Analyse

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Utilisateur : F.A.

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Pour moi une des leçons, si ce n'est la plus risquée à cause des fonctions monotones dont on n'entend plus parler depuis la sup... Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Références :

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3

Elements d'analyse réelle

Les contre-exemples en mathématiques

Cours d'analyse

Analyse

Optimisation et analyse convexe

Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2017

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Anonyme | Année : 2024

Leçon choisie : 1539

Autre leçon : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2025

Développement choisi par le jury : Point de Fermat d'un triangle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Des questions sur mon développement (préciser le calcul du gradient de f, pourquoi l'application norme est convexe) Puis des exercices (que peut on dire d'une fonction convexe bornée, la fonction x -> 1/2<Ax,x>-<b,x> est elle convexe ? Strictement convexe ? Si oui et sil il existe calculer son point extremum)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
tres souriants, encourageants.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est passé mieux que je ne pensais grâce au jury qui m'a mise en confiance.

Note obtenue : 15.75

Références:

Utilisateur : Peïo | Année : 2024

Leçon choisie : 1539

Autre leçon : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications2025

Développement choisi par le jury : Descente de gradient à pas constant

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Xav. | Année : 2019

Leçon choisie : 1539

Autre leçon : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2025

Développement choisi par le jury : Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions du jury : - Donner un exemple de fonction convexe sur [0,1] mais discontinue en 0. - Comment caractériser une fonction convexe avec son épigraphe ? - Si une suite de fonctions convexe converge simplement vers une fonction continue, déjà pourquoi est-ce que la limite est convexe ? Et pouvez-vous montrer que la convergence est uniforme sur tout compact ? - Une fonction monotone a-t-elle des limites à gauche et à droite ? Pourquoi ? - Pourquoi est-ce qu'une fonction convexe a un nombre au plus dénombrable de points de discontinuités ? - Pouvez-vous nous parler de la fonction $\Gamma$ ? - Montrer que l'ensemble des matrices réelles symétriques positives est convexe, et que la fonction associant à une matrice sa plus grande valeur propre est convexe. - Donner la différentielle de $X \mapsto (MX|X)$

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt bienveillant et posant beaucoup de questions !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Attention lorsque l'on prépare son plan, à ne pas oublier d'y recaser les deux développements !

Note obtenue : 14.75

Références: