235 - Problèmes d’interversion de symboles en analyse2025

Rapport du jury 2022

L'intitulé de cette leçon a été volontairement élargi afin de permettre explicitement aux candidats d'aborder des problèmes plus diversités de permutations de symboles, qu'il s'agisse de limites, d'intégrales, de dérivées, d'espérances. Le choix est large !\r\rLes candidats pourront également inclure dans leur leçon des exemples de permutations de quantificateurs, obtenus par des arguments de compacité ou (pour les candidats aguerris) utilisant le théorème de Baire.\r\rDans tous les cas, on évitera de présenter un catalogue désincarné d'énoncés, en privilégiant les exemples et applications significatifs.

Rapport du jury 2019

Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau élémentaire, on peut insister sur le rôle de la convergence uniforme (et donc, dans le cas de séries de fonctions bornées,de la convergence normale.) Les théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et les théorèmes d’interversion de Fubini-Tonelli et Fubini sont des attendus de cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces résultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion voulue. Le jury note que ces différents points posent problème à de nombreux candidats, qui sont mis en difficulté sur des exemples assez simples. Ils sont donc invités à consolider ces notions avant de s’aventurer plus loin. $\\$\rPour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée deFourieret/ou de la transformée de Laplace avec des exemples et des applications.

Rapport du jury 2017

Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau éléméntaire, on peut insister sur le rôle de la convergence niforme, ou de la convergence normale (dans le cas de séries de fonctions). Les théorèmes de convergence dominée, de convergence monotone et le théorème de Fubini (et Fubini-Tonelli) ont leur place dans cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces réultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion tant désirée. Pour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée de Fourier\ret/ou de la transformée de Laplace.

Rapport du jury 2016

Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau élémentaire, on peut insister sur le rôle de la convergence uniforme, ou de la convergence normale (dans le cas de séries de fonctions).\r\rÀ un niveau plus avancé, les théorèmes de convergence dominée, de convergence monotone et le théorème de Fubini (et Fubini-Tonelli) ont leur place dans cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces réultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion tant désirée. Pour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée de Fourier et/ou de la transformée de Laplace.