246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, la théorie $L^2$ est incontournable, et son interprétation en terme d'isométrie doit être mise en évidence. Les candidats doivent pouvoir écrire l'identité de Parseval pour exprimer le produit scalaire de deux fonctions de $L^2(T)$.\r\rEn ce qui concerne la convergence simple, ou uniforme ou en norme $L^p$ au sens de Cesàro, les propriétés cruciales des noyaux utilisés devront être clairement explicitées.\rUn autre thème important est le lien entre régularité de la fonction et vitesse de convergence vers 0 de ses coefficients de Fourier.\r\rIl est important d'illustrer cette leçon de quelques unes des innombrables applications des séries de Fourier : calculs de sommes de séries, équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, problème de Dirichlet sur le disque unité, etc.), inégalité de Bernstein, formule sommatoire de Poisson et ses applications, inégalité isopérimétrique, etc.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la divergence des séries de Fourier dans divers contextes, soit en exhibant des contre-exemples, soit en utilisant la théorie de Baire. Mais aussi aux procédés de sommation presque partout des séries de Fourier, aux séries de Fourier lacunaires, à l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, la convergence de la série de Fourier d'une fonction $\alpha$-höldérienne si $\alpha > \frac{1}{2}$, etc.

Rapport du jury 2019

Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Fejér, Dirichlet,...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in \mathbb{Z}}$ (qu’il est plus prudent d’éviter car elle est souvent inadaptée). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux(elles ne sont pas forcément continues). Le théorème d’isométrie bijective entre espaces $L^2$ et $l^2$ doit apparaître. Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série de Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. $\\$ On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. $\\$ Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peut illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,...).

Rapport du jury 2017

Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Féjer, Dirichlet, ...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in Z}$ (qu’il peut être plus prudent d’éviter en général). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes.\r\rOn peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de\rFourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu.\r\rIl est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les cœfficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,... ).

Rapport du jury 2016

Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$ , Fejér, Dirichlet, . . .) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. \r\rMais il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire, ...).

Rapport du jury 2015

Les différents modes de convergence ( L , Fejer, Dirichlet, ...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet.Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier.La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon.

Rapport du jury 2014

Les différents modes de convergence ($L^2$ , Fejer, Dirichlet etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. \r\rIl est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon. \r