150 - Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.2025

Rapport du jury 2023

Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction ; les polynômes d'endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$, en particulier connaître la dimension, et aux liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre $K[u]$. Il est ensuite possible de s'intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire et suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Le lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître des conséquences théoriques et pratiques. \r\rOn attend que la candidate ou le candidat soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). L'aspect applications est trop souvent négligé. Il est par exemple possible d'envisager des applications au calcul de $A^k$ à l'aide d'un polynôme annulateur, aux calculs d'exponentielles de matrices ou de mener l'analyse spectrale de matrices stochastiques.\r\rPour aller plus loin, la candidate ou le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par exemple l'étude de l'extraction de racines ou du logarithme.

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Rapport du jury 2023

Rapport du jury 2022

Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction qui est ici un moyen pour\rdémontrer des théorèmes ; les polynômes d'endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il\rfaut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$ et aux liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre $K[u]$. Il faut connaître la dimension de $K[u]$ sans hésitation. Il est\rensuite possible de s'intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire\ret suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens\rentre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques.\r\rLe lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il\rfaut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. L'aspect applications est trop\rsouvent négligé. Il est possible, par exemple, de mener l'analyse spectrale de matrices stochastiques.\rOn attend d'un candidat qu'il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité\ret de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est bien sûr important de ne pas faire\rde confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre λ donnée (algébrique ou\rgéométrique). Enfin, calculer $A^k$ ne nécessite pas, en général, de réduire A (la donnée d'un polynôme\rannulateur de A suffit souvent). Il est possible d'envisager des applications aux calculs d'exponentielles\rde matrices.\r\rS'il le souhaite, le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par\rexemple l'étude de l'extraction de racines ou du logarithme.

Rapport du jury 2019

Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction qui est ici un moyen pour démontrer des théorèmes ; les polynômes d’endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l’algèbre $\textbf{K}[u]$ et aux liens entre réduction de l’endomorphisme u et structure de l’algèbre $\textbf{K}[u]$. Il faut connaître la dimension de $\textbf{K}[u]$ sans hésitation. Il est ensuite possible de s’intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire et suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. $\\$ Le lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l’endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. L’aspect applications est trop souvent négligé. Il est possible, par exemple, de mener l’analyse spectrale de matrices stochastiques. On attend d’un candidat qu’il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est bien sûr important de ne pas faire de confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, calculer $A^k$ ne nécessite pas, en général, de réduire $A$ (la donnée d’un polynôme annulateur de $A$ suffit souvent). Il est possible d’envisager des applications aux calculs d’exponentielles de matrices. $\\$ S’il le souhaite, le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par exemple l’étude de l’extraction de racines ou du logarithme.

Rapport du jury 2017

Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction qui est ici un moyen pour démontrer des théorèmes ; les polynômes d’endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l’algèbre $K[u]$ et connaître sa dimension sans hésitation. Il est ensuite possible de s’intéresser aux propriétés globales de cette algèbre. \r\rLes liens entre réduction d’un endomorphisme u et la structure de l’algèbre $K[u]$ sont importants, tout comme ceux entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l’endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. \r\rL’aspect applications est trop souvent négligé. Il est possible, par exemple, de mener l’analyse spectrale de matrices stochastiques. On attend d’un candidat qu’il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est bien sûr important de ne pas faire de confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, calculer $A^k$ ne nécessite pas, en général, de réduire A (la donnée d’un polynôme annulateur de A suffit souvent).

Rapport du jury 2016

Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction qui est ici un moyen pour démontrer des théorèmes ; les polynômes d’endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l’algèbre $K[u]$, connaître sa dimension sans hésiter ; s’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite s’intéresser à ses propriétés globales.\r\rLes liens entre réduction d’un endomorphisme u et la structure de l’algèbre $K[u]$ sont importants, tout comme ceux entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l’endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques.\r\rL’aspect applications est trop souvent négligé. On attend d’un candidat qu’il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, rappelons que pour calculer $A^k$, il n’est pas nécessaire en général de réduire A (la donnée d’un polynôme annulateur de A suffit souvent).

Rapport du jury 2015

Cette leçon est souvent choisie pour son lien avec la réduction, toutefois, le jury ne souhaite pas que le candidat présente un catalogue de résultats autour de la réduction, mais seulement ce qui a trait aux polynômes d'endomorphismes.Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$ , connaître sa dimension sans hésiter.Les propriétés globales pourront être étudiées par les meilleurs. Le jury souhaiterait voir certains liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre $K[u]$ . Le candidat peut s'interroger sur les idempotents et le lien avec la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques.Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. L'aspect applications est trop souvent négligé. On attend d'un candidat qu'il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, rappelons que pour calculer $A^k$ , il n'est pas nécessaire en général de réduire A (la donnée d'un polynôme annulateur de A suffit bien souvent).

Rapport du jury 2014

Les polynômes d'un endomorphisme ne sont pas tous nuls ! Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$, connaître sa dimension sans hésiter. Les propriétés globales pourront être étudiées par les meilleurs. Le jury souhaiterait voir certains liens entre réduction et structure de l'algèbre $K[u]$. Le candidat peut s'interroger sur les idempotents et le lien avec la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques.\r\rLe jury ne souhaite pas que le candidat présente un catalogue de résultats autour de la réduction, mais seulement ce qui a trait aux polynômes d'endomorphismes. Il faut bien préciser que dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme. \r\rL'aspect applications est trop souvent négligé. On attend d'un candidat qu'il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée ( algébrique ou géométrique). Enfin rappelons que pour calculer $A_k$ , il n'est pas nécessaire en général de faire la réduction de $A$ (la donnée d'un polynôme annulateur de $A$ suffit bien souvent).\r

Développements

5	Bicommutant
5	Endomorphismes semi-simples
5	Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
5	Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
5	Topologie des classes de similitude
5	Diagonalisibilité et semi-simplicité
5	Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
5	Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
5	Théorème du bicommutant et du commutant
5	Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
5	Lemme des noyaux
5	Dunford et l'exponentielle de matrice
5	Famille Q-libre par la trace
5	Sous-algèbres réduites de Mn(C)
5	Déterminant circulant
5	Sous-algèbre de L(E) dont le seul élément nilpotent est 0
5	Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
5	Localisation des valeurs propres
5	Diagonalisation des endomorphismes normaux
5	Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
5	Matrice diagonale et polynôme annulateur sur un corps fini
5	Décomposition de Dunford
5	Déterminant circulant et suite de polygones
5	Cayley-Hamilton amélioré
4	Critère de nilpotence de Cartan
4	Densité des matrices diagonalisables
4	Théorème spectral et ses trois corollaires
4	Surjectivité de l’exponentielle matricielle
4	Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre
4	Endormorphismes de rang 2
4	Nombre de matrice sur un corps finis de polynôme caractéristique donné
4	Réduction par bloc d'une isométrie
3	Réduction des endomorphismes normaux
3	Algorithme de Gauss ( ≈ pivot de Gauss symétrique )
3	Théorème de Gauss (polygones constructibles)
3	Surjectivité de l'exponentielle matricielle
3	Critère de nilpotence par la trace [doublon]
2	Dimension du commutant
2	Théorème de Perron Frobenius pour les matrices à coefficients strictement positifs
2	Décomposition polaire
2	Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq
1	Reduction des endomorphismes nilpotents
1	Dunford pour le calcul de rayon spectral
1	Dérivation de l'algèbre des matrices carré
1	Dénombrer les endo nilpotents sur un corps fini
1	Endomorphismes normaux
1	Paradoxe de Penney
1	Algorithme de Faddeev

Plans

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Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Je suis passé en oral blanc sur cette leçon. Il faut parler des endomorphisme cyclique, ca fait une bonne transition pour en venir à Cayley Hamilton. J'ai enlevé le lemme des noyaux (idée de la démo est similaire à Dunford). Mon autre développement serait alors le dénombrement des automorphismes diagonalisables dans Fq, c'est pas foufou, je le justifiait par le fait que l'ensemble de ces endomorphismes est l'ensemble des endomorphismes qui à la puissance q-1 vaut l'identité et on utilise des propriétés sur polynômes minimaux et annulateur. Pour faire cette leçon le Mansuy est top (comme pour toutes les leçons de réductions d'ailleurs)

Références :

Utilisateur : Matoumatheux

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Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Analyse matricielle

Algèbre

Algèbre linéaire

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Utilisateur : Tintin

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Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice. Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème... N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Tout-en-un MP/MP*

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre et probabilités

Carnet de voyage en Algébrie

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Mathis Lemay

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Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie \"endomorphismes remarquables diagonalisables\", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques... J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone) Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)

Références :

Algèbre et probabilités

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre linéaire

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 150. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Références :

Algèbre

Un max de maths

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Oraux X-ENS Algèbre 2

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Hugo

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Leçon qui va assez vite à préparer dans le mesure où la plupart des parties qui la composent se retrouvent dans d'autres leçons. À préparer assez tôt dans l'année car contient beaucoup de résultats classiques. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

Références :

Algèbre

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Références :

Elements d'analyse réelle

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Objectif Agrégation

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Références :

Utilisateur : EWna

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Références :

Algèbre linéaire

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre et probabilités

Utilisateur : Pandou

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Dans mon plan du jour-J, j'ai ajouté une dernière partie contenant : résolution de systèmes linéaires (diagonaliser pour simplifier), théorème spectral, éléments de topologie.

Références :

Objectif Agrégation

Algèbre linéaire

Algèbre

Algèbre linéaire

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi [GouAl] Algèbre : Gourdon [Man] Algèbre linéaire réduction des endomorphismes : R. Mansuy [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [Zad] Un max de maths : Zavidovique

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Un max de maths

Utilisateur : Maurer

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Références :

Utilisateur : ZAOUI

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Références :

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Marvin

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Références :

Objectif Agrégation

Oraux X-ENS Algèbre 2

Algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Références :

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Algèbre

Objectif Agrégation

Oraux X-ENS Algèbre 2

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : nitro

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Il reste quelques ajustements à la fin et aussi me décider sur les développements à retenir..

Références :

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Alexis

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Références :

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Algèbre

Un max de maths

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2017

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Références :

Algèbre

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisateur : Victor

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Utilisateur : Maé Miachon Lemeulle | Année : 2022

Leçon choisie : 1505

Autre leçon : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le dév : -Comment justifiez-vous que exp(N+M) = expNexpM si N et M commutent ? (argument à l'oral avec le binôme de Newton et le produit de Cauchy) -Vous avez dit qu'on peut aisément vérifier que l'exponentielle est de classe C^1, comment ? (j'ai justifié qu'elle était différentiable en 0 de différentielle l'identité, mais ensuite je me suis embrouillé pour montrer le caractère C^1 alors qu'il suffisait de dire qu'elle était C^infini comme somme d'une série entière) -Vous dites dans votre plan que l'exponentielle sur M_n(R) n'est pas surjective sur GL_n(R), avez-vous un contre-exemple ? (je mets du temps à en retrouver, ils m'aident en me faisant redire que dét expA = e^trA ; et donc que les matrices inversibles de déterminant négatif ne sont pas atteintes (quel type de raisonnement utilisez vous ? -raisonnement par l'absurde); ils me demandent un exemple concret de taille n, je donne une matrice diagonale avec que des 1 et un -1, je dis que c'est la matrice d'une réflexion orthogonale, on me demande à quelle condition elle est orthogonale, je bégaye (c'est si la base est orthonormée)) Ensuite j'ai un exo sur les matrices semi-simples (qui sont dans mon plan), où je dois dire à quelle condition la matrice 2x2 (a -b ; b a) est semi-simple ; c'est tout le temps le cas (car le polynôme caractéristique est irréductible dès que b est non nul, et c'est une homothétie si b=0). On passe ensuite au cas général de taille n, je dois montrer qu'une matrice est semi-simple ssi elle est semblale à une matrice diagonale par blocs formée de blocs de taille 1 et de taille 2 de la forme précédente. Il fallait se souvenir que le polynôme minimal d'une telle matrice est le PPCM des polynômes minimaux des blocs, ce que j'ai mis un certain temps à faire. Deuxième exo : calculer la puissance d'une matrice 2x2. J'ai utilisé une technique décrite dans le plan (qui vient du Mansuy premier chapitre) qui donne directement A^m = (coeff)A + (coeff)I , on m'a fait faire le détail des calculs (ce qui prend du temps avec les petites erreurs dues au stress).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Chan-lang | Année : 2018

Leçon choisie : 1505

Autre leçon : Nombres premiers. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Endomorphismes semi-simples

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
(Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...) L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la - dimension de k[u], donner un majorant; - polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p - décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que \"PAYEUR\" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford. - indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance. - G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège. Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j. En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement. On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.

Note obtenue : 13.25

Références:

Utilisateur : PAYEUR | Année : 2018

Leçon choisie : 1505

Autre leçon : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des questions pour éclaircir des points du développement Questions : 1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit) 2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ 3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury) 4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury) 5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée) 6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur 7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Déroulement de la préparation Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la \"salle de tirage\". Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5 Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique. Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Favier | Année : 2017

Leçon choisie : 1505

Autre leçon : Corps finis. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Topologie des classes de similitude

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Fluide. Des questions très basiques au début et un exercice plus difficile à la fin (j'ai eu besoin d'un peu d'aide pour l'exercice).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Gentil, aidant. Cependant, ils ont fait deux fautes en essayant de me poser des questions, cela m'a un peu destabilisé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Jean | Année : 2017

Leçon choisie : 1505

Autre leçon : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Retour rapide sur le développement pour quelques question de notation (l'un des profs n'aimait pas ma façon d'introduire les endomorphismes d et n), ils ont voulus savoir si j'utilisais bien la décomposition de Dunford pour montrer la surjectivité de l'exponentielle. -Des questions sur le plan, j'avais oublié de finir ma définition de valeur spectral et ils m'ont fais remarqués qu'en dimension finie (ie dans le cadre de la leçon) valeur spectral et valeur propre c'est la même chose (j'aurais pas du en parler quoi). Ils m'ont demandés comment je justifiais l'existence de l'exponentiel d'un endomorphisme (j'ai un peu galéré). Ils m'ont demandés de démontrer quelques propositions du plan (avec plus ou moins de réussite), et ils sont revenus sur quelques critères de diagonalisation aussi je crois. Pour finir j'ai eu un exo où il fallait trouver la décomposition de Dunford d'une matrice et en déduire que l'application qui associe à une matrice de Mn(C) sa partie nilpotente était non continue.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le Jury était plutôt souriant, jamais cassant et a aidé beaucoup. Globalement l'oral était plutôt agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
On avait plus de 3h entre le tirage du sujet et la fin de la composition (3h05 à 3h10), sinon pour ce premier jour les surveillant ont un peu galérés pour la mise en place.

Note obtenue : 10.0

Références: