213 - Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2025

Rapport du jury 2022

L'analyse de Fourier, sur le cercle où la droite réelle, est évidemment une illustration fondamentale des résultats de ce chapitre. Le jury a noté que rares étaient les candidats qui maîtrisaient correctement la théorie $L^2$ des séries de Fourier.\rLe fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux propriétés spectrales des opérateurs autoadjoints compacts d'un espace de Hilbert, à la minimisation de fonctionnelles convexes et coercives sur un espace de Hilbert, ou encore au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, ou encore au théorème d'échantillonnage de Shannon.

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Rapport du jury 2022

Rapport du jury 2019

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \r$$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.

Rapport du jury 2017

Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...).\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de\rGramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\[\rx = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2\r\]\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint\rd’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2016

Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .).\r\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de\rla projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument\rêtre connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème\rde projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H\rest régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\r$$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$\r\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2015

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ).Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence.La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon.Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2014

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. \r\rLa notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.\r\rEnfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé. \r

Développements

5	Optimisation dans un Hilbert
5	Espace de Bergman du disque unité
5	Projection sur un convexe fermé
5	Dual de Lp
5	Résolution d'une EDPE
5	Théorèmes de Riesz et Lax-Milgram
5	Théorème de Calderon
5	Méthode du gradient projeté
5	Espace H1 et problème de Dirichlet
5	Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude
5	Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert
5	Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
5	Théorème de Banach-Alaoglu
5	Polynômes et fonctions de Hermite
5	Polynômes orthogonaux
5	Théorème de projection sur un convexe fermé
5	Injection compacte dans les espaces de Sobolev
5	Théorème ergodique de Von Neumann
5	Théorème de Lax-Milgram et une application
5	Échantillonage de Shannon
4	Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
4	Diagonalisation des opérateurs symétriques compacts
4	Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques
4	Matrices et déterminants de Gram
4	Théorème de Stampacchia
4	Une version du théorème de Muntz
4	Théorème de Radon Nikodym
4	Étude d'une norme dans un Hilbert
4	Compacts dans les espaces de Hilbert
3	Existence de l'espérance conditionelle
3	Convergence de séries aléatoires et loi forte des grands nombres L2
3	Fermés de L2(R) invariants par translation
3	Problème de Dirichlet sur H^1_0 en dimension d
2	Expression des zeta(2k)
1	Polynômes de Hermite

Plans

Rajouter une version

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

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Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 213. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

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Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse

Objectif Agrégation

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Oraux X-ENS Analyse 2

Utilisateur : Tintin

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Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un espace de Hilbert en montrant que son orthogonal est réduit à {0}, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne et savoir calculer une distance à l'aide de la projection orthogonale. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Topologie générale et espaces normés

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : Mathis Lemay

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J'adore cette leçon et je suis tombé dessus en oral blanc en décembre en faisant exactement ce plan là. La partie IV n'est vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé mais si on en parle, il faut bien le travailler et je ne suis pas sûr que je l'aurais mise le jour J si j'étais tombé dessus. Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un Hilbert en montrant que son orthogonal est nul, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, savoir calculer une distance (ou une borne inf d'une quantité en reconnaissant une distance) à l'aide du projeté... Si on parle des polynômes orthogonaux, une question méga-classique qui est systématiquement posée, c'est d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ ! Dans le DEV1, je faisais THM15 et PROP16, si on n'a pas le temps de faire PROP16, il faut quand même savoir la démontrer.

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse

Objectif Agrégation

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

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Utilisateur : GClerc

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Analyse pour l'agrégation

Espaces de Hilbert et opérateurs

Utilisateur : Hugo

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J'aime bien cette leçon : le plan se mémorise bien et les résultats sont classiques. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

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Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

Références :

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Elements d'analyse fonctionnelle

Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés

Objectif Agrégation

Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Probabilités

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

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Elements d'analyse fonctionnelle

Objectif Agrégation

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Objectif Agrégation

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

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Utilisateur : Agent B0

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On peut se passer du Gourdon, et aller voir Daniel Li, certains exos sont les mêmes que dans Hirsch mais corrigé.

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse

Objectif Agrégation

Utilisateur : JULIEN L

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Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Analyse

Objectif Agrégation

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Références :

Utilisateur : EWna

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Je suis passé sur cette leçon lors de mon oral. J'ai fait un plan globalement identique, j'ai coupé la partie sur les variables aléatoires et raccourci les paragraphes sur les bases hilbertiennes et Fourier périodique au strict minimum (c'est passé tout juste sur les 3 feuilles...)

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Analyse fonctionnelle

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Utilisateur : Crépusculaire

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Références :

Analyse

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Objectif Agrégation

Utilisateur : Pandou

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Objectif Agrégation

Analyse fonctionelle

Analyse

Elements d'analyse fonctionnelle

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily [OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré

Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Analyse pour l'agrégation

Objectif Agrégation

Utilisateur : Maurer

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Leçon que j'ai préparé au début de l'année, donc la forme est un peu différente de d'habitude.

Références :

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Objectif Agrégation

Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral

Algèbre

Utilisateur : Marvin

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse pour l'agrégation

Objectif Agrégation

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

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Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Oraux X-ENS Algèbre 3

Analyse numérique et équation différentielle

Objectif Agrégation

Analyse

Utilisateur : Alexandre

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Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse

Objectif Agrégation

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

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Utilisateur : Marie

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Mis à jour le 17.05.17

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Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Objectif Agrégation

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Retours

Anonyme | Année : 2024

Leçon choisie : 1528

Autre leçon : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Projection sur un convexe fermé

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
C'était un couplage sur une impasse et une leçon que je trouvais difficile donc je n'ai pas brillée. Concernant les questions suivantes, j'avais parfois des sous-questions mais je ne me rappelle pas très bien de tout donc j'ai mis les questions phares. Questions: Pourquoi y \mapsto d(x,y) est continue à x fixé. Si on prends un sev fermé est ce que le théorème s'applique? Projection dans R^n; sur le disque unité. C'était censé à nous amener un truc mais j'ai rien compris de ce qu'il s'est passé donc je ne saurais retranscrire. Donner un espace et une base hilbertienne de cet espace, autre que celui du plan.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant et bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Plutôt oui, déçu de ce que j'ai produit mais c'était du à ma faute. Les 3heures sont passés super vite, je n'ai eu le temps de réviser qu'un seul développement, heureusement je connaissais le deuxième par coeur.

Note obtenue : 10.0

Références:

Utilisateur : Agent B0 | Année : 2023

Leçon choisie : 1528

Autre leçon : Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2025

Développement choisi par le jury : Projection sur un convexe fermé

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
questions du jury : - donnez des exemples d'ensembles convexes dans R^n, C^n, l2(N). - expliquez le nom de l' \"identité du parallélogramme\" - Comment on fait pour projeter un vecteur dans un e.v. de dimension finie quand on a une base non orthonormale, sans l'orthonormaliser ? (Ecrire le système linéaire). - Si on a un sous-e.v. F, et p_F projection orthogonale, que vaut l'adjoint de p_F ? - Est-ce que Pythagore est vrai pour 3 vecteurs ? dessiner un contre-exemple. - Donnez une autre définition de famille totale. - Est-ce qu'il existe des fonctions continues par morceaux sur [0;2pi] telles que leurs coefficients de Fourier réels vérifient an = 1/sqrt(n) ? - On prends une fonction f dans L2_2pi, montrez que la série des (cn(f)/n)e^inx converge normalement sur R/

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Attitude bienveillante, le jury m'a aidé sur certaines questions et m'a bien laissé le temps de réfléchir.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Comme je l'imaginais

Note obtenue : 19.0

Références:

Utilisateur : EWna | Année : 2023

Leçon choisie : 1528

Autre leçon : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions/réponses: <ol type=\"1\"> <li>En quoi les opérateurs de Hilbert-Schmidt sont-ils intéressants en dehors de Thm 39 (opérateurs de Hilbert-Schmidt de L2) ? [Ils sont compacts] </li> <li>Pouvez-vous me donner un exemple non trivial (en dehors de Thm 39) d'opérateur de Hilbert-Schmidt dans l² ? [Tu = (u_n/n²)] </li> <li> <ol type=\"a\"> <li>Oui, ça ça va marcher, intéressons nous de manière plus général aux opérateurs de cette forme-là, pas vraiment un homothétie, mais presque... comment pourriez-vous les qualifier ? [opérateurs diagonal: Tu = (u_n*v_n)_n] </li> <li>Bien, donc soit T un opérateur diagonal, à quel condition celui-ci est-il: <ol type=\"i\"> <li>continu ? [(v_n)_n bornée] </li> <li>compact ? [v_n -> 0 car c'est un opérateur autoadjoint, donc les valeurs propres sont les (v_n)_n, et l'après la théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints, en dimension infinie, la suite des valeurs propres doit tendre vers 0] </li> <li>de Hilbert-Schmidt ? (i.e. il existe une base hilbertienne telle que Série(||T e_n ||²) converge) ? [(v_n)_n dans l²] </li> <li>Pouvez-vous me donner un exemple d'opérateur compact qui n'est pas de Hilbert-Schmidt ? [v_n = 1/sqrt(n)] </li> </ol> </ol> </li> <li>Dans un espace de Hilbert, tout fermé borné est-il compact ? (Sans Riesz) [non: on prend un base hilbertienne, aucune sous-suite ne peut vérifier la condition de Cauchy d'après le théorème de Pythagore: ||e_n - e_m||² = 2] </li> <li> <ol type=\"a\"> <li>Est-ce qu'il y a d'autres notions de compacité auxquelles vous pouvez penser ? [faible compacité, de toute suite on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement, au sens ptt y, <x_n|y> -> <x|y> dans un Hilbert] </li> <li>Est-ce que tous les fermés bornés sont faiblement compacts ? [si (x_n)_n est bornée, alors ptt y, (<x_n|y>)_n aussi: on extrait diagonalement sur une base hilbertienne] </li> </ol> </li> </ol> J'ai un peu paniqué pour mon développement, et j'ai fini par le faire en 10 minutes. Pour combler le temps, j'ai improvisé une preuve supplémentaire, que j'ai complètement raté. On a passé une bonne dizaine de minutes à corriger ce morceau de preuve et quelques détails dans le preuve principale. Ça m'a assez déstabilisé, et le fait qu'on me pose des questions vraiment au bord du programme m'a pas mal perturbé au vu du développement. Quand on présente un sujet un peu de niche comme celui-ci, je conseille très fortement de connaître le contexte qui gravite autour (heureusement c'était mon cas).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant. Seul l'un des membres du jury m'a posé des question, je pense que je suis tombé sur un spécialiste des opérateurs de Hilbert-Schmidt...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai mis un peu plus de temps qu'à mon habitude pour rédiger mon plan.

Note obtenue : 14.75

Références: