151 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.2025

Leçon choisie : 1506

Autre leçon : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025

Développement choisi par le jury : Dunford et l'exponentielle de matrice

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions: Ils m'ont fait corriger des étourderies dans ce que j'avais écrit concernant mon développement Concernant la fin de mon développement, ils m'ont guidé pour obtenir des démonstrations différentes. Question plan : Questions sur la codiagonalisation de matrice. Je l'ai énoncé pour une famille finie, ils m'ont demandé si infini ça marchait. Je n'avais pas d'argument donc est partie sur la démonstration dans mon cas et l'extension à une famille pas forcément finie d'endomorphisme. J'avais mis trigonalisation avant diagonalisation. Ils m'ont demandé de justifier. Je sais que lorsque j'avais préparé les leçons de réductions j'avais fais ce choix pour une raison mais je ne me rappellais plus pourquoi. J'ai dit que c'était parce que le diagonalisation était un cas particulier de la trigonation. Après ils m'ont demandé si j'avais à l'enseigner si je le ferais comme ça. J'ai répondu que ça pouvait être pertinent également de faire la diagonalisation avant pour s'habituer à certaines manipulations et pour simplifier la venue de la trigonalisation. Ils m'ont demandé de justifier mon dev 2 : de base c'est pas lui que j'avais mis mais au moment de faire le plan j'ai eu un trou sur la structure de mon plan donc j'ai fait comme j'ai pu. J'ai dit que la preuve reposé sur le fait qu'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable, dont la preuve vient du fait que la dimension d'un sous espace propre est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre qui elle même vient du fait que le polynôme caractéristique d'un endomoprhisme induit divise celui de l'endomorphisme (résumé brièvement). Ils m'ont aussi demandé de dénombrer le nombre de sous-espace propre d'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes. Ils ont fait beaucoup de sous-questions pour me guider au résultat.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant, souriant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je pensais que les questions posés aller être plus difficile. Il y en avait bien sûre auxquelles je n'ai pas su répondre mais les jurys m'aidaient à obtenir les résultats.

Note obtenue : 11.0

Leçon choisie : 1506

Autre leçon : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Générateurs de O(E)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Précision sur l'autre développement : il s'agit d'une version où à chaque étape, la proportion est dans [a,A], segment strictement inclus dans [0,1] et non une proportion 1/2 comme dans le développement proposé sur ce site, il y a des matrices qui commutent et de la codiagonalisation. Beaucoup de questions sur le développement (cf. Perrin p.143 pour plus de détails, ou ce site): Q : Pouvez-vous définir une réflexion orthogonale? R : Je donne la définition à l'aide des matrices en fixant une base Q : Pouvez-vous le définir sans les matrices? R : Je le définis à l'aide de l'axe de renversement et de l'hyperplan. Q : Et pour les renversements? R : Je dis que c'est pareil mais on n'a plus une droite et un hyperplan mais des espaces de dimension 2 et n-2. Q : Pour parler de dimension d'un ensemble, que faut-il vérifier (je parle dans mon développement de l'ensemble des points fixes d'un élément de O(E) et j'utilise sa dimension)? R : Que ça soit un espace vectoriel. Q : Pourquoi est-ce évident qu'il s'agit d'un espace vectoriel? Fu = {x dans E tels que u(x) = x}, u dans O(E) R : Il est non vide et stable par C.L. Q : On peut le réécrire autrement cet ensemble? R : Ah oui... Comme le noyau d'un endomorphisme. Q : Et comment on l'appelle ce noyau? R : C'est l'espace propre de u pour la valeur 1. Q : On se donne une rotation dans $R^3$. Quels renversements l'engendrent? R : Je ne sais pas vraiment. Ma seule idée est de suivre l'algorithme de la preuve et de trouver les réflexions. Je suis donc le développement et trouve les dites réflexions. Q : Est-ce que la génération est minimale? En clair, peut-on engendrer un élément de O(E) en moins de codim(Fu) réflexions? R : Je ne pense pas, on peut peut-être trouver un contre-exemple. Q : Plusieurs membres du jury me posent des questions en même temps et veulent me faire prendre deux points de vue différents : théorique vs contre-exemple. R : Après un moment à être perdu, je finis par suivre la piste d'un des membres du jury qui veut que je démontre théoriquement que c'est minimal. Je me rends compte que ça a un lien avec les hyperplans des réflexions et leur intersection. Q : Et du coup, vous avez un contre-exemple? R : Petit temps de réflexion... Oui, une diagonale avec des -1 puis des 1. Q : Est-ce que la matrice de permutation de (1 2 ... n) est orthogonale? R : Oui, les colonnes forment une b.o.n. Q : Vous savez quelles réflexions l'engendrent? R : pas vraiment de réponses, toutes les questions précédentes étaient un peu mélangées donc on a fini par sauter celle-ci. Q : Que donne le produit de deux réflexions dans R^2? R : (après aide du jury et après avoir oublié ce qu'on me demandait à la base tellement j'ai eu de questions intermédiaires) une rotation. Sur le plan: Q : Démontrer que le polynome caractéristique de $u_{|F}$ (F stable par u) divise celui de u. R : Je dis que ça revient à ce dont je parlais dans ma présentation de plan et que matriciellement c'est évident. Q : Montrer que g et f commutent et sont diagonalisables implique qu'ils sont co-diagonalisables. R : Un peu laborieux mais j'y arrive. Q : Que peut-on dire du commutant de f diagonalisable? R : Je parle de stabilité des espaces propres mais je ne sais pas si c'est une CNS. Le membre du jury ayant posé la question m'aide et on trouve à l'oral que c'en est bien une. Q : Quelle est la dimension de ce commutant? R : La somme des carrés des dimensions des espaces propres. Le jury me dit que nous n'avons plus beaucoup de temps et nous passons à un exercice. Q : Soit u dans L(E) de polynôme caractéristique scindé à racines simples. Dénombrer les espaces stables de u. Il vous reste 30s (merci, c'est trop) R : J'ai juste le temps de dire qu'il y a au moins toutes les sommes directes d'espaces propres. Je n'ai pas eu le temps de les compter ( $2^n$ si je ne m'abuse). C'est fini, merci et bonne journée.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient assez neutre dans leur ton, ni sévères ni gentils. Ils avaient envie de poser beauuuuuuuucoup de questions, des petites questions parfois mais en plein milieu d'autres. Ce qui fait que j'ai au moins perdu le fil de ce que l'on faisait 2 fois lors de l'oral. J'imagine que ça leur permet aussi de tester les reflexes des candidats.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, l'oral s'est passé comme je m'y attendais. J'étais un peu déçu qu'ils ne choisissent pas le développement sur lequel j'avais apporté des ajouts personnels. Ils n'ont pas hésité sur le développement qu'ils voulaient voir. J'avais l'impression qu'ils avaient déjà beaucoup de questions prêtes sur O(E) et qu'ils ont juste vu qu'ils pourraient facilement poser des questions pendant la troisième partie de l'oral.

Note obtenue : 12.0

Leçon choisie : 1506

Autre leçon : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Réduction des endomorphismes normaux

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions autour du développement notamment, des questions basiques mais qui ont su tous de même me déstabiliser. Ils ont finit par un exercice classique en me demandant les sous espaces stables d'un endomorphisme nilpotent dont l'indice de nilpotence était la dimension de l'espace.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un jury très bienveillant et aidant lorsque l'ont bloque. C'était très appréciable surtout lorsque l'on cède à la panique face à des questions simple ça aide à se remobiliser.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est déroulé comme prévu en terme d'organisation, pour ce qui est des questions un peu étonné que le jury ne s'intéresse pas vraiment aux plans sur ce coup ci.

Note obtenue : 12.0

Leçon choisie : 1506

Autre leçon : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2025

Développement choisi par le jury : Lemme de Maschke

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 13.5

Leçon choisie : 1506

Autre leçon : Applications des nombres complexes à la géométrie.2019

Développement choisi par le jury : Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice \[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \ ight).\] Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ? Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

Note obtenue : 17.25