201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025

Leçon choisie : 1521

Autre leçon : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Densité des fonctions continues nulles part dérivables

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis Q : Comment retrouver ce résultat dès qu'on a un contre-exemple ? R : Sur [0,1], si on a un contre-exemple g qui est continue nulle part dérivable et f une fonction continue sur [0,1], j'ai commencé par considérer f_n(x) = f(x) + g(x)/n, mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas forcément nulle part dérivable, donc c'est sûrement pas ça qu'il faut considérer. Q : A quelles conditions sur la fonction f est ce que les fonctions f_n sont nulle part dérivables ? R : Si la fonction f est dérivable par exemple. (petit moment de réflexion) Ah on peut penser au théorème de Weierstrass en approximant f par des fonctions polynômes qui sont régulières. Q : Comment se démontre le théorème de Weierstrass ? R : j'ai expliqué la preuve par la convolution Mon plan était en 3 parties : I - Espaces de fonctions continues II - Espaces L^p III - Espaces de fonctions holomorphes Questions sur le plan : Q : Sur les espaces L^p, si l'ensemble est de mesure finie, on a une inclusion (L^p inclus dans L^q si q<p). Pourquoi ? R : Inégalité de Hölder. Q : L'inclusion est-elle stricte ? R : Oui, j'ai construit un contre exemple pour q=1 et p=2 sur [0,1] (la fonction f(x) = 1/sqrt{x}) Q : Sur [0,1], est-ce-que L^2 est fermé dans L^1 ? R : Non, j'ai construit une suite en contre-exemple, la suite de fonctions f_n(x) = 1/(sqrt{x} + 1/n), qui sont L^2, converge dans L^1 vers la fonction f, qui n'est pas dans L^2. Q : Sur [0,1], montrer que la boule unité de L^2 est fermée dans L^1. R : J'ai commencé par prendre une suite (f_n) de la boule unité qui converge vers une fonction f. Le jury m'a suggéré d'utiliser Riesz-Fischer, puis j'ai voulu essayer d'appliquer le théorème de convergence dominée pour montrer que f était aussi dans la boule unité. Q : Le théorème de convergence dominée ne va pas marcher ici, connaissez-vous d'autres théorèmes sur l'intégrale de la limite d'une suite de fonctions ? R : Ah oui, ici on veut juste une inégalité, on peut penser au lemme de Fatou. J'ai fait un dessin au tableau pour me rappeler du sens de l'inégalité en trouvant un cas d'inégalité stricte, ce que le jury a apprécié. Q : Comment se démontre l'inversion de Fourier ? R : On le démontre pour les noyaux de Gauss, puis pour les convolées avec les noyaux de Gauss, puis on utilise le fait que c'est une approximation de l'unité Q : La transformée de Fourier est-elle injective? R : Oui en utilisant la formule d'inversion. J'ai commencé par prendre deux fonctions dont la transformée de Fourier était la même Q : Vu un des résultats dans votre plan, est-ce-qu'on peut pas simplifier le raisonnement? R : Ah oui, puisque la transformation de Fourier est linéaire on peut juste considérer une fonction dont la transformée de Fourier est nulle. Q : Est-elle surjective ? R : Non, car sinon elle serait bijective et d'après le théorème d'isomorphisme de Banach puisque les espaces sont complets, l'inverse serait aussi continue. C'était la fin de l'oral et j'ai pas pu finir le raisonnement

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury composé de deux femmes et un homme, c'est l'homme qui posait la plupart des questions et qui était le plus encourageant. J'avais l'impression que le jury ne comprenait pas très bien le développement, comme si c'était la première fois qu'ils le voyaient, ils ont d'ailleurs mis beaucoup de temps pour choisir le développement et prenaient beaucoup de notes.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
A part le développement où j'ai dépassé les 15min (j'ai duré 16min), l'oral s'est passé comme je l'imaginais. Des questions classiques mais permettant de mettre en valeur mes connaissances. J'ai fait quasiment le même plan que celui que j'avais préparé pendant l'année (j'ai mis mon plan sur le site), avec 70 items à peu près.

Note obtenue : 18.75

Leçon choisie : 1521

Autre leçon : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Question sur le développement : \"Comment expliquer le théorème de transfert à des lycéens?\" \"Quel est la limite d'une suite de polynômes?\" Question sur le plan : théorème de convergence monotone \"pas bon\" (confusion entre intégrable vs mesurable , cf Marco) et donc ils m'ont aidé à construire un contre-exemple Question : Est-ce que L1 muni de la norme infini est complet ? pourquoi ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Nous aide à répondre aux questions, pousse à répondre et ne pas abandonner.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Non, j'ai été déstabilisé. Je suis sortie de l'oral assez déçue, notamment à cause du tirage (j'avais eu Suite récurrente l'année précédente)

Note obtenue : 10.75