239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025

Leçon choisie : 1544

Autre leçon : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Injectivité de la transformée de Fourier

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan : I. Régularité sous le signe intégral II Produit de convolution III Transformée de Fourier Questions sur le développement : - Etes vous sur de votre tout premier calcul ? J'ai un peu paniqué car l'un des jury pensait que je m'étais trompé, mais il avait du mal voir car il y avait des reflets au tableau. - Comment montre t-on qu’une fonction est holomorphe (ils attendaient analytique) - Recalculer intégrale de Gauss - Qu'est ce que la formule de dualité - Redemontrer la transformée de Fourier de la Gaussienne avec une equa diff (je ne m'en rappelais plus) - Comment s'appelle en probabilité la fonction dont j'avais calculé la transformée de Fourier ? - Pourquoi gamma_n, que j’avais défini dans mon dev, est une approximation de l’unité ? Questions sur le plan : - Pourquoi le produit de convolution est bien défini dans L1 Exos : - une fonction définie par une intégrale à paramètre, il fallait utiliser la convergence dominée j’ai fini par trouver mais j’ai été très lent. - Une question sur la fonction gamma qui a duré 2 minutes (c’était la fin)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était composé d'une femme qui dirigeait les échanges et de deux hommes. Ils étaient très rassurants et positifs. Je répondais assez rapidement aux questions, mais lorsque dans un exercice je n'ai pas directement pensé à utiliser la convergence dominée ils ont été silencieux (en même temps ce n'était pas très dur et je pense qu'ils attendaient que je le trouve moi-même).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est passé comme je l'imaginais car j'avais déjà fait des oraux blancs.et très bien préparé cette leçon. J'ai consacré pour la préparation 1h45 pour le plan, 30 min pour les développements et le reste pour relire certaines démonstrations de propriétés que j'avais mises dans mon plan. On a ramassé mon plan 15 minutes avant la fin, l'organisation du lycée était vraiment parfaite.

Note obtenue : 15.75

Leçon choisie : 1544

Autre leçon : Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Concernant le développement: on m'a demandé de bien préciser des points de mon developpement (notamment au bout j'ai 10 minutes j'ai compris qu'on voulait de moi que je dise que le fait que la série convergeait normalement était causé par le fait que la série des normes convergeait...) -On m'a ensuite demandé de calculer l'integrale sur le cercle de centre 0 et de rayon 1/2 de la fonction Gamma. Il fallait pour celà utiliser la formule des résidus (pour laquelle j'étais peu sure de moi et qu'on ne m'a jamais clairement confirmé). J'ai mis beaucoup de temps ensuite à calculer proprement le résidus de gamma en 0 bêtement... -On m'a ensuite demandé une base hilbertienne de L1(R) et j'ai dis beaucoup de bétises jusqu'à comprendre enfin qu'ils nous voulaient pas une base pour la mesure de Lebesgue mais qu'ils autorisaient une autre mesure, et qu'ils attendaient donc les polynomes de l'hermite (grâce à mon autre developpement) -Ensuite on m'a demandé de montrer le Lemme de Riemann-Lebesgue. J'ai voulu commencer par expliquer pourquoi, \"physiquement\" on pouvait s'attendre à ce résultat, grâce à une analogie avec les séries de Fourier, mais ils m'ont bien vite coupé pour me dire que je ne repondais pas à leur question, et j'ai donc ensuite montré proprement le lemme grâce à la densité des fonctions C infinies à support compact

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Pour cet oral, presque seul le directeur du jury parlait, et j'ai été très etonnée. D'une part ils étaient extremement froid, mais surtout ils ont très très peu parlé, donc quand je repondais et qu'ils me regardaient sans rien faire, je prenais leur silence pour une chance de me corriger, et donc en suis arrivée à chercher des erreurs là où je n'en avais pas. D'autre part, je n'ai vraiment pas compris que ma petite \"interpretation physique\" ne soit pas appréciée.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je comptais beaucoup sur les livres de la bibliothèque de l'agrégation, or certains livres comme par exemple le Zuily Queffelec n'étaient qu'en un seul exemplaire, ce qui peut etre inquietant...

Note obtenue : 13.25

Leçon choisie : 1544

Autre leçon : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.2022

Développement choisi par le jury : Pas de réponse fournie.

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Mes 2 autres développements: UC des translation +Riemann Lebesgue (dév choisi) et la ln convexité de Gamma (que l'on peut trouver dans le bouquin A curse of integration de Lerner) Autres références: Daniel Li, Cours d'analyse fonctionnelle et A curse of integration de Lerner 1ière question: C'est quoi la définition d'une suite qui tend vers 0? Parce que vous l'avez mal montré dans la démonstration de l'UC des translations. J'ai pas su répondre correctement mais je pense que comme y'avait tous les éléments dans mon développement ils ont pensé que c'était juste dû au stress/fatigue. 2ième question: Soit A mesurable de R^n de mesure non nulle et de mesure finie. Montrer que A+(-A) contient un voisinage de 0. Indication: Poser f=indicatrice de A, g=indicatrice de -A et convolez. Je dis pk la convolée a un sens et j'écris seulement la définition de la convolution parce que je ne vois pas où ils veulent en venir. Que pouvez-vous dire de la régularité? Je réponds que c'est continue et que ça tend vers 0 en l'infini parce que c'est L2/L2 C'est quoi le résultat de la convolée en 0? c'est égale à la mesure de A Concluez. J'ai pas su conclure 3ième question: Est-ce toutes les fonctions de L1 ont une transformée de Fourier L1? Moi bêtement je cherche à calculer la transformée de fourier d'une indicatrice... et j'y suis arrivé tellement péniblement qu'ils m'ont arrêté. Une meilleure réponse eût été que si c'était le cas, alors en utilisant l'inversion de Fourier on aurait que toutes les fonctions de L1 auraient un représentant continu ce qui n'est pas le cas.... 4ième question: On pose F(t)= l'intégrale de -l'infini à + l'infini de e^(izx+itx)dx Calculez-là. Je vois bien que c'est la transformée de fourier d'une gausienne dilatée mais je cafouille énormément et j'oublie même de dire à quelles conditions sur z c'est intégrale existe... Le coup du i devant le z me perturbe et en plus j'avais oublié ma référence dans lequel ce calcul est fait. J'ai montré que la fonction était holomorphe sous le signe somme. Je ne me souviens plus très bien mais en gros ça c'est terminé par comment calculeriez-vous cette intégrale? On prend des z sur lesquels on peut calculer facilement l'intégrale puis à l'aide du théorème de prolongement des identités on trouve le résultat en général.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Il y avait une femme muette à part quand elle a posé la 4ième question... et là j'ai compris pourquoi, elle ne parle pas bien français... j'ai mis 5 minutes à comprendre la question et les 2 autres gugusses ne m'ont pas aidé à l'écrire... De temps en temps je disais que je ne voyais pas où ils voulaient en venir mais ils se contentaient de me regarder puis au bout de quelque temps sans qu'il ne se passe rien j'avais le droit à une indication ou alors on passait à une autre question. Je pensais vraiment que j'aurais 5....

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La différence de niveau de la 1ère réelle question (pas celle sur mon dév) et de mon plan m'a paru abyssale ... J'ai oublié une de mes références d'intégration :/ Déçu de ne pas pouvoir reprendre mon plan :/

Note obtenue : 12.0

Leçon choisie : 1544

Autre leçon : Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.2025

Développement choisi par le jury : Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1544

Autre leçon : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai été étonné car j'ai eu beaucoup de questions sur mon développement et sur mon plan, mais presque aucun exercice. Sur mon développement (densité des polynômes orthogonaux) ils m'ont demandé pourquoi il suffisait de montrer que $ \int fx^n=0 \forall n \Rightarrow f=0$ pour avoir la densité, je me suis un peu embrouillé en parlant d'abord des conséquences de Hahn Banach (la caractérisation des sous espaces denses par les formes linéaires), puis ils m'ont rappelé qu'on était dans un Hilbert et j'ai fait la démo normale. J'ai eu des questions un peu bizarre, genre pourquoi $\hat{f}=0 \Rightarrow f=0$, alors que j'avais dit trois fois qu'à cet endroit là j'utilisais l'injectivité de la transformée de Fourier. Aussi dans le développement on se place sur un intervalle $I$ et ensuite on se ramène à une fonction sur $\mathbb{R}$, et ils m'ont demandé à quoi servait l'intervalle $I$, pas trop compris... Questions sur le plan : -Pourquoi j'ai rayé le Lemme du Riemann-Lebesgue dans mon plan? Parce que je me suis rendu compte que je l'avais déjà mis avant sous une autre forme héhé -Pourquoi si $f,g\in L^1$ alors $f \star g \in L^1$. Meme chose avec $f\in L^p, g\in L^q$ -Vous avez dit qu'on a pas besoin de la convergence dominé pour montrer le théorème d'analycité sous l'intégrale, pourquoi? Parce que voilà : paf recasage de la démo que j'avais relu 5mn avant (cf Faraut, si je me trompe pas c'est juste un théorème moins fort d'interversion de somme et d'intégrale). Hmm oui mais non, alors comment on caractérise une fonction analytique en terme de différentielle? Ben comme ça. Bon ok. Fin de la question -Qu'est ce qu'il se passe dans le théorème de continuité si on intègre sur un segment? Ben ça marche tout le temps pour peu que la fonction soit continue en les deux variables

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un des membres du Jury avait l'air de comprendre tout ce que je disais, du coup quand les autres comprenaient pas une démonstration ils lui demandaient \"tu as compris?\" il disait oui et on passait à autre chose, c'était un peu le boss final de l'oral. Un autre m'a un peu énervé (le prof de prépa je pense) parce qu'il posait mal ses questions et je comprenais pas ce qu'il voulait dire... Par exemple à un moment dans mon plan je parlais du lien entre la fonction gamma et la surface d'une sphère, et donc j'introduit une mesure (cf Faraut) définie en fonction de la mesure de Lebesgue (pour info, si $\lambda$ est la mesure de lebesgue, la nouvelle mesure c'est $ \sigma(E)=\lim\limits_{\epsilon\ ightarrow 0}\frac{1}{\epsilon}\lambda(\{ru | u\in E, 1 \leq r \leq 1+\epsilon\})$). Je sais pas ce qu'il a pas aimé la dedans, mais il trouvait cette mesure bizarre (alors que le boss avait l'air d'accord avec ce que je disais) et il m'a parlé de ça pendant longtemps, ça a un peu cassé le rythme de l'oral. Quand le boss a enfin pu me poser des questions il avait l'air très content, il souriait et je l'ai même fait rigoler. Jury plutot agréable dans l'ensemble, à aucun moment ils n'ont cherché à me déstabiliser ou à me piéger.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.